前言

部分内容摘自程杰的《大话数据结构》

1. 最小生成树

假设你是电信的实施工程师，需要为一个镇的九个村庄架设通信网络做设计，村庄位置大致如下图，其中 v $_0$ ~v $_8$ 是村庄，之间连线的数字表示村与村间的可通达的直线距离，比如 v $_0$ 至 v $_1$ 就是 10 公里（个别如 v $_0$ 与 v $_6$ ，v $_6$ 与v $_8$ ，v $_5$ 与 v $_7$ 未测算距离是因为有高山或湖泊，不予考虑）。你们领导要求你必须用最小的成本完成这次任务。你说怎么办？

显然这是一个带权值的图，即网结构。所谓的最小成本，就是n个顶点，用n-1条边把一个连通图连接起来，并且使得权值的和最小。在这个例子里，每多一公里就多一份成本，所以只要让线路连线的公里数最少，就是最少成本了。
如果你加班加点，没日没夜设计出的结果是如下图的方案一（粗线为要架设线路），我想你离被炒鱿鱼应该是不远了。因为这个方案比后两个方案多出 60% 的成本会让老板气晕过去的。

方案三设计得非常巧妙，但也只以极其微弱的优势对方案二胜出，应该说很是侥幸。我们有没有办法可以精确计算出这种网图的最佳方案呢？答案当然是可以。
我们在讲图的定义和术语时，曾经提到过，一个连通图的生成树是一个极小的连通子图，它含有图中全部的顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。显然上图的三个方案都是上上图的网图的生成树。那么我们把构造连通网的最小代价生成树称为最小生成树（Minimum Cost SpanningTree）。
找连通网的最小生成树，经典的有两种算法，普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。我们分别来介绍一下。

1.1 普里姆（Prim）算法

为了能讲明白这个算法，我们先构造上面相同图的邻接矩阵，如右下图所示。

也就是说，现在我们已经有了一个存储结构为MGragh的G。G有 9 个顶点，它的arc二维数组如右上图所示。数组中的我们用 65535 来代表∞。
于是普里姆（Prim）算法代码如下。其中INFINITY为权值极大值，不妨是 65535，MAXVEX为顶点个数最大值，此处大于等于 9 即可。现在假设我们自己就是计算机，在调用MiniSpanTree_Prim()函数，输入上述的邻接矩阵后，看看它是如何运行并打印出最小生成树的。

/* Prim算法生成最小生成树 */
void MiniSpanTree Prim (MGraph G)
{
	int min, i, j, k;
	int adjvex[MAXVEX];	/* 保存相关顶点间边的权值点下标 */
	int lowcost[MAXVEX];	/* 保存相关顶点间边的权值 */
	lowcost[0] = 0;	/* 初始化第一个权值为0， 即v0加入生成树 */
	adjvex[0] = 0;	/* 初始化第一个顶点下标为0 */
	for(i = 1;i < G.numVertexes; i++)	/* 循环除下标为0外的全部顶点 */
	{
		lowcost[i] = G.arc[0][i];	/* 将v0顶点与之有边的权值存入数组*/
		adjvex[i] = 0;	/* 初始化都为v0的下标 */
	}
	for(i = 1;i < G.numVertexes; i++)
	{
		min = INFINITY;	/* 初姑化最小权值为∞，通常设置为不可能的大数字如32767、65535等 */
		j = 1;k = 0;
		while(j < G.numVertexes)	/* 循环全部顶点 */
		{
			if (lowcost[j]!=0 && lowcost[j] < min)	
			{						/* 如果权值不为0且权值小于min */
				min = lowcost[j];	/* 则让当前权值成为最小值 */
				k = j;				/* 将当前最小值的下标存入k */
			}
			j++;
		}
		printf("(%d,%d)\n",adjvex[k],k);	/* 打印当前顶点边中权值最小边 */
		lowcost[k] = 0;		/* 将当前顶点的权值设置为0,表示此顶点已经完成任务 */
		for(j = 1;j < G.numVertexes; j++)	/* 循环所有顶点 */
		{/* 若下标为k顶点各边权值小于此前这些顶点未被加入生成树权值 */
			if(lowcost[j]!=0 && G.arc[k][j] < lowcost[j])
			{
				lowcost[j] = G.arc[k][j];	/* 将较小权值存入lowcost */
				adjvex[j] = k;	/* 将下标为k的顶点存入adivex */
			}
		}
	}
}

程序开始运行，我们由第5行和第6行，创建了两个一维数组lowcost和adjvex，长度都为顶点个数 9。它们的作用我们慢慢细说。
第 7 行和第 8 行我们分别给这两个数组的第一个下标位赋值为 0，adjvex[0]=0其实意思就是我们现在从顶点 v $_0$ 开始（事实上，最小生成树从哪个顶点开始计算都无所谓，我们假定从 v $_0$ 开始），lowcost[0]=0就表示 v $_0$ 已经被纳入到最小生成树中，之后凡是lowcost数组中的值被设置为 0 就是表示此下标的顶点被纳入最小生成树。
第 9~12 行表示我们读取上图的右图邻接矩阵的第一行数据。将数值赋值给lowcost数组，所以此时lowcost数组值为 {0,10,65535,65535,11,65535, 65535, 65535}，而adjvex则全部为 0。此时，我们已经完成了整个初始化的工作，准备开始生成。
第 14~37 行，整个循环过程就是构造最小生成树的过程。
第 16 行和第 17 行，将min设置为了一个极大值 65535，它的目的是为了之后找到一定范围内的最小权值。j是用来做顶点下标循环的变量，k是用来存储最小权值的顶点下标。
第 18~26 行，循环中不断修改min为当前lowcost数组中最小值，并用k保留此最小值的顶点下标。经过循环后，min=10，k=1。注意 19 行if判断的lowcost[j]!=0表示已经是生成树的顶点不参与最小权值的查找。
第 27 行，因k=1，adjvex[1]=0，所以打印结果为 (0, 1)，表示 v $_0$ 至 v $_1$ 边为最小生成树的第一条边。如下图所示。
第 28 行，此时因k=1我们将lowcost[k]=0就是说顶点 v $_1$ 纳入到最小生成树中。此时lowcost数组值为 {0,0,65535,65535,65535,11,65535,65535,65535}。
第 29~36 行，j循环由 1 至 8，因k=1，查找邻接矩阵的第 v $_1$ 行的各个权值，与lowcost的对应值比较，若更小则修改lowcost值，并将k值存入adjvex数组中。因第 v $_1$ 行有 18、16、 12 均比 65535 小，所以最终lowcost数组的值为：{0,0,18,65535,65535,11,16,65535,12}。adjvex数组的值为：{0,0,1,0,0,0,1,0,1}。这里第 30 行if判断的lowcost[j]!=0也说明 v $_0$ 和 v $_1$ 已经是生成树的顶点不参与最小权值的比对了。
再次循环，由第 16 行到第 27 行，此时min=11, k=5，adjvex[5]=0。因此打印结构为 (0, 5)。表示 v $_0$ 至 v $_5$ 边为最小生成树的第二条边，如下图所示。
接下来执行到 37 行，lowcost数组的值为：{0,0,18,65535,26,0,16,65535,12}。adjvex数组的值为：{0,0,1,0,5,0,1,0,1}。
之后，相信大家也都会自己去模拟了。通过不断的转换，构造的过程如下图中图1~图6所示。

有了这样的讲解，再来介绍普里姆（Prim）算法的实现定义可能就容易理解一些。
假设 N=(V,{E}) 是连通网，TE是N上最小生成树中边的集合。算法从 U={u $_0$ }(u $_0$ ∈V)，TE={} 开始。重复执行下述操作：在所有 u∈U，v∈V-U 的边 (u,v)∈E 中找一条代价最小的边 (u $_0$ ,v $_0$ ) 并入集合TE，同时 v $_0$ 并入U，直至U=V为止。此时TE中必有n-1条边，则T=(V,{TE})为N的最小生成树。
由算法代码中的循环嵌套可得知此算法的时间复杂度为 $O(n^2)$ 。

1.2 克鲁斯卡尔（Kruskal）算法

现在我们来换一种思考方式，普里姆（Prim）算法是以某顶点为起点，逐步找各顶点上最小权值的边来构建最小生成树的。这就像是我们如果去参观某个展会，例如世博会，你从一个入口进去，然后找你所在位置周边的场馆中你最感兴趣的场馆观光，看完后再用同样的办法看下一个。可我们为什么不事先计划好，进园后直接到你最想去的场馆观看呢？事实上，去世博园的观众，绝大多数都是这样做的。
同样的思路，我们也可以直接就以边为目标去构建，因为权值是在边上，直接去找最小权值的边来构建生成树也是很自然的想法，只不过构建时要考虑是否会形成环路而已。此时我们就用到了图的存储结构中的边集数组结构。以下是edge边集数组结构的定义代码：

/* 对边集数组Edge结构的定义 */
typedef struct
{
	int begin;
	int end;
	int weight;
}Edge;

我们将同样的图的邻接矩阵通过程序转化为右下图的边集数组，并且对它们按权值从小到大排序。

于是克鲁斯卡尔（Kruskal）算法代码如下。其中MAXEDGE为边数量的极大值，此处大于等于 15 即可，MAXVEX为顶点个数最大值，此处大于等于 9 即可。现在假设我们自己就是计算机，在调用MiniSpanTree_Kruskal函数，输入下图的邻接矩阵后，看看它是如何运行并打印出最小生成树的。

/* Kruskal算法生成最小生成树 */
void MiniSpanTree Kruskal(MGraph G)
{
	int i,n,m;
	Edge edges[MAXEDGE];	/* 定义边集数组 */
	int parent[MAXVEX];	/* 定义一数组用来判断边与边是否形成环路 */
	
	/*此处省略将邻接矩阵G转化为边集数组edges并按权由小到大排序的代码*/
	
	for(i = 0; i < G.numVertexes; i++ )
		parent[i] = 0;	/* 初始化数组值为0 */
	for (i = 0; i < G.numEdges; i++)	/* 循环每一条边 */
	{
		n = Find(parent,edges[i].begin);
		m = Find(parent,edges[i].end);
		if (n != m)	/* 假如n与m不等，说明此边没有与现有生成树形成环路 */
		{
			parent[n] = m;	/* 将此边的结尾顶点放入下标为起点的parent中。表示此顶点已经在生成树集合中 */
			printf("(%d,%d) %d\n",edges[i].begin,edges[i].end, edges[i].weight);
		}
	}
}

/* 查找连线顶点的尾部下标 */
int Find(int *parent, int f)
{
	while (parent[f]>0)
	{
		f = parent[f];
	}
	return f;
}

程序开始运行，第 6 行之后，我们省略掉颇占篇幅但却很容易实现的将邻接矩阵转换为边集数组，并按权值从小到大排序的代码，也就是说，在第 6 行开始，我们已经有了结构为edge，数据内容是上图的一维数组edges。
第 6~11 行，我们声明一个数组parent，并将它的值都初始化为 0，它的作用我们后面慢慢说。
第 12~21 行，我们开始对边集数组做循环遍历，开始时，i=0。
第 14 行，我们调用了第 25~32 行的函数Find()，传入的参数是数组parent和当前权值最小边 (v $_4$ ,v $_7$ ) 的begin:4。因为parent中全都是 0 所以传出值使得n=4。
第 15 行，同样作法，传入 (v $_4$ ,v $_7$ ) 的end:7，传出值使得m=7。
第 16~20 行，很显然n与m不相等，因此parent[4]=7。此时parent数组值为 {0,0, 0, 0, 7, 0, 0, 0, 0}，并且打印得到 “(4, 7) 7”。此时我们已经将边 (v $_4$ ,v $_7$ ) 纳入到最小生成树中，如下图所示。
循环返回，执行 14~20 行，此时i=1，edge[1]得到边 (v $_2$ ,v $_8$ )， n=2，m=8，parent[2]=8，打印结果为 “(2, 8) 8"，此时parent数组值为 {0, 0, 8, 0,7, 0, 0, 0, 0}，这也就表示边 (v $_4$ ,v $_7$ ) 和边 (v $_2$ ,v $_8$ ) 已经纳入到最小生成树，如下图所示。
再次执行 14~20 行，此时i=2，edge[2]得到边 (v $_0$ ,v $_1$ )，n=0，m=1，parent[0]=1，打印结果为 “(0, 1) 10”，此时parent数组值为 {1, 0, 8, 0, 7, 0, 0, 0, 0}，此时边 (v $_4$ ,v $_7$ )、 (v $_2$ ,v $_8$ )和 (v $_0$ ,v $_1$ ) 已经纳入到最小生成树，如下图所示。
当i=3、4、5、6时，分别将边 (v $_0$ ,v $_5$ )、(v $_1$ ,v $_8$ )、(v $_3$ ,v $_7$ )、(v $_1$ ,v $_6$ )纳入到最小生成树中，如下图所示。此时parent数组值为 {1, 5, 8, 7, 7, 8,0, 0, 6}，怎么去解读这个数组现在这些数字的意义呢？

从上图的右下图i=6的粗线连线可以得到，我们其实是有两个连通的边集合A与B中纳入到最小生成树中的，如下图所示。当parent(0]=1，表示 v $_0$ 和 v $_1$ 已经在生成树的边集合A中。此时将parent[0]=1的 1 改为下标，由parent[1]=5，表示 v $_1$ 和 v $_5$ 在边集合·A·中，parent[5]=8表示 v $_5$ 与 v $_8$ 在边集合A中，parent[8]=6表示 v $_8$ 与 v $_6$ 在边集合A中，parent[6]=0表示集合A暂时到头，此时边集合A有v $_0$ 、v $_1$ 、v $_5$ 、v $_8$ 、v $_6$ 。我们查看parent中没有查看的值，parent[2]=8表示 v $_2$ 与 v $_8$ 在一个集合中，因此 v $_2$ 也在边集合A中。再由parent[3]=7、parent[4]=7和parent[7]=0可知 v $_3$ 、v $_4$ 、v $_7$ 在另一个边集合B中。
当i=7时，第 14 行，调用Find函数，会传入参数edges[7].begin=5。此时第 27 行，parent[5]=8>0，所以f=8，再循环得parent[8]=6。因parent[6]=0所以Find返回后第 14 行得到n=6。而此时第 12 行，传入参数edges[7].end=6得到m=6。此时n=m，不再打印，继续下一循环。这就告诉我们，因为边 (v $_5$ ,v $_6$ ) 使得边集合A形成了环路。因此不能将它纳入到最小生成树中，如上图所示。
当i=8时，与上面相同，由于边 (v $_1$ ,v $_2$ ) 使得边集合A形成了环路。因此不能将它纳入到最小生成树中，如上图所示。
当i=9时，边(v $_6$ ,v $_7$ )，第 14 行得到n=6，第 15 行得到m=7，因此parent[6]=7，打印 “(6, 7) 19"。此时parent数组值为 {1, 5, 8, 7, 7, 8, 7, 0, 6}，如下图所示。
此后边的循环均造成环路，最终最小生成树即为下图所示。

假设N=(V{E})是连通网，则令最小生成树的初始状态为只有n个顶点而无边的非连通图T={V,{}}，图中每个顶点自成一-个连通分量。在E中选择代价最小的边，若该边依附的顶点落在T中不同的连通分量上，则将此边加入到T中，否则舍去此边而选择下一条代价最小的边。依次类推，直至T中所有顶点都在同一连通分量上为止。
此算法的Find函数由边数e决定，时间复杂度为 $O(loge)$ ，而外面有一个for循环e次。所以克鲁斯卡尔算法的时间复杂度为 $O(eloge)$ 。
对比两个算法，克鲁斯卡尔算法主要是针对边来展开，边数少时效率会非常高，所以对于稀疏图有很大的优势；而普里姆算法对于稠密图，即边数非常多的情况会更好一些。