前言

部分内容摘自程杰的《大话数据结构》

1. 算法时间复杂度

1.1 算法时间复杂度的定义

  在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作：T(n)= O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。

  这样用大写O()来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大О记法。
  一般情况下，随着n的增大，T(n)增长最慢的算法为最优算法。

1.2 推导大O阶方法

  那么如何分析一个算法的时间复杂度呢？即如何推导大O阶呢？我们给出了下面的推导方法，基本上，这也就是总结前面我们举的例子。
  推导大O阶：

  1. 用常数 1 取代运行时间中的所有加法常数。
  2. 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
  3. 如果最高阶项存在且不是 1，则去除与这个项相乘的常数。

  得到的结果就是大O阶。

  事实上，分析一个算法的时间复杂度，没有这么简单，我们还需要多看几个例子。

1.3 常数阶

  首先顺序结构的时间复杂度。下面这个算法，为什么时间复杂度不是O(3)，而是O(1)。

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int sum = 0,n = 100;	/* 执行1次 */
sum = (1 + n) * n / 2;	/* 执行1次 */
printf ("%d", sum);		/* 执行1次 */

  这个算法的运行次数函数是f(n)=3。根据我们推导大О阶的方法，第一步就是把常数项3改为1。在保留最高阶项时发现，它根本没有最高阶项，所以这个算法的时间复杂度为O(1)。
  另外，我们试想一下，如果这个算法当中的语句sum=(1+n)*n/2有 10 句，即：

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int sum = 0, n = 100;	/* 执行1次 */
sum = (1 + n) * n / 2;	/* 执行1次 */
sum = (1 + n) * n / 2;	/* 执行2次 */
sum = (1 + n) * n / 2;	/* 执行3次 */
sum = (1 + n) * n / 2;	/* 执行4次 */
sum = (1 + n) * n / 2;	/* 执行5次 */
sum = (1 + n) * n / 2;	/* 执行6次 */
sum = (1 + n) * n / 2;	/* 执行7次 */
sum = (1 + n) * n / 2;	/* 执行8次 */
sum = (1 + n) * n / 2;	/* 执行9次 */
sum = (1 + n) * n / 2;	/* 执行10次 */
printf ("%d", sum);		/* 执行1次 */

  事实上无论n为多少，上面的两段代码就是3次和12次执行的差异。这种与问题的大小无关（n的多少），执行时间恒定的算法，我们称之为具有O(1)的时间复杂度，又叫常数阶。
  注意：不管这个常数是多少，我们都记作O(1)，而不能是O(3)、O(12)等其他任何数字，这是初学者常常犯的错误。
  对于分支结构而言，无论是真，还是假，执行的次数都是恒定的，不会随着n的变大而发生变化，所以单纯的分支结构（不包含在循环结构中)，其时间复杂度也是O(1)。

1.4 线性阶

  线性阶的循环结构会复杂很多。要确定某个算法的阶次，我们常常需要确定某个特定语句或某个语句集运行的次数。因此，我们要分析算法的复杂度，关键就是要分析循环结构的运行情况。
  下面这段代码，它的循环的时间复杂度为O(n)，因为循环体中的代码须要执行n次。

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int i;
for (i = 0; i < n; i++)
{
	/* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
}

1.5 对数阶

  下面的这段代码，时间复杂度又是多少呢？

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int count = 1;
while (count < n)
{
	count = count * 2;
	/* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
}

  由于每次count乘以2之后，就距离n更近了一分。也就是说，有多少个2相乘后大于n，则会退出循环。由2^x^=n得到x=log2{_2}n。所以这个循环的时间复杂度为O(logn)。

1.6 平方阶

  下面例子是一个循环嵌套，它的内循环刚才我们已经分析过，时间复杂度为O(n)。

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int i,j;
for (i = 0; i < n; i++)
{
	for (j = 0; j < n; j++)
	{
		/* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
	}
}

  而对于外层的循环，不过是内部这个时间复杂度为O(n)的语句，再循环n次。所以这段代码的时间复杂度为O(n^2^)。
  如果外循环的循环次数改为了m，时间复杂度就变为O(m×n)。

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int i,j;
for (i = 0; i < m; i++)
{
	for (j = 0; j < n; j++)
	{
		/* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
	}
}

  所以我们可以总结得出，循环的时间复杂度等于循环体的复杂度乘以该循环运行的次数。
  那么下面这个循环嵌套,它的时间复杂度是多少呢?

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int i,j;
for (i = 0; i < n; i++)
{
	for (j = i; j < n; j++)	/* 注意j = i而不是0 */
	{
		/* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
	}
}

  由于当i=0时，内循环执行了n次，当i=1时，执行了n-1次，……当i=n-1时，执行了1次。所以总的执行次数为:

n+(n−1)+(n−2)+…+1=n(n+1)2=n22+n2n+(n-1)+(n- 2)+…+1=\frac{n(n+1)} {2}=\frac{n^2}{2}+\frac{n}{2}

  用我们推导大О阶的方法，第一条，没有加法常数不予考虑；第二条，只保留最高阶项，因此保留n^2^/2 ；第三条，去除这个项相乘的常数，也就是去除1/2，最终这段代码的时间复杂度为O(n^2^)。
  从这个例子，我们也可以得到一个经验，其实理解大О推导不算难，难的是对数列的一些相关运算，这更多的是考察你的数学知识和能力，所以想考研的朋友，要想在求算法时间复杂度这里不失分，可能需要强化你的数学，特别是数列方面的知识和解题能力。

  我们继续看例子，对于方法调用的时间复杂度又如何分析。

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int i,j;
for (i = 0; i < n; i++)
{
	function (i);
}

  上面这段代码调用一个function()函数

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void function (int count)
{
	print (count);
}

  函数体是打印count这个参数。其实这很好理解，function()函数的时间复杂度是O(1)。所以整体的时间复杂度为O(1)。
  假如function()是下面这样的：

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void function (int count)
{
	int j;
	for (j = count; j < n; j++)
	{
		/* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
	}
}

  事实上，这和刚才举的例子是一样的，只不过把嵌套内循环放到了函数中，所以最终的时间复杂度为O(n^2^)。
  下面这段相对复杂的语句:

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n++;						/* 执行次数为1 */
function (n);				/* 执行次数为n */
int i,j;
for (i = 0; i < n; i++)		/* 执行次数为n×n */
{
	function (i);
}
for (i = 0; i < n; i++)		/* 执行次数为n(n+1)/2 */
{
	for (j = i; j < n; j++)
	{
		/* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
	}
}

  它的执行次数f(n)=1+n+n^2^+n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2}=32\frac{3}{2}n^2^+32\frac{3}{2}n+1，根据推导大O阶的方法，最终这段代码的时间复杂度也是O(n^2^)。

2. 常见的时间复杂度

执行次级函数 阶 非正式术语
12 O(1) 常数阶
2n+3 O(n) 线性阶
3n2+2n+1 O(n2) 平方阶
5log2n+20 O(logn) 对数阶
2n+3nlog2n+19 O(nlogn) nlogn阶
6n3+2n2+3n+4 O(N3) 立方阶
2n O(2n) 指数阶

  常用的时间复杂度所耗费的时间从小到大依次是：

O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n2)<O(n3)<O(n!)<O(nn)O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n^2)<O(n^3)<O(n!)<O(n^n)

  我们前面已经谈到了O(1)常数阶、O(logn)对数阶、O(n)线性阶、O(n^2^)平方阶等，至于O(nlogn)会在后面介绍，而像O(n^3^)，过大的n都会使得结果变得不现实。同样指数阶O(2^n^) 和阶乘阶O(n!) 等除非是很小的n值，否则哪怕n只是100，都是噩梦般的运行时间。所以这种不切实际的算法时间复杂度，一般我们都不去讨论它。

3. 最坏情况和平均情况

  你早晨上班出门后突然想起来，手机忘记带了，这年头，钥匙、钱包、手机三大件，出门哪样也不能少呀。于是回家找。打开门一看，手机就在门口玄关的台子上，原来是出门穿鞋时忘记拿了。这当然是比较好，基本没花什么时间寻找。可如果不是放在那里，你就得进去到处找，找完客厅找卧室、找完卧室找厨房、找完厨房找卫生间，就是找不到，时间一分一秒的过去，你突然想起来，可以用家里座机打一下手机，听着手机铃声来找呀，真是笨。终于找到了，在床上枕头下面。你再去上班，迟到。见鬼，这一年的全勤奖,就因为找手机给黄了。
  找东西有运气好的时候，也有怎么也找不到的情况。但在现实中,通常我们碰到的绝大多数既不是最好的也不是最坏的，所以算下来是平均情况居多。
  算法的分析也是类似，我们查找一个有n个随机数字数组中的某个数字，最好的情况是第一个数字就是，那么算法的时间复杂度为O(1)，但也有可能这个数字就在最后一个位置上待着，那么算法的时间复杂度就是O(n)，这是最坏的一种情况了。
  最坏情况运行时间是一种保证，那就是运行时间将不会再坏了。在应用中，这是一种最重要的需求，通常，除非特别指定，我们提到的运行时间都是最坏情况的运行时间。
  而平均运行时间也就是从概率的角度看，这个数字在每一个位置的可能性是相同的，所以平均的查找时间为n/2次后发现这个目标元素。
  平均运行时间是所有情况中最有意义的，因为它是期望的运行时间。 也就是说，我们运行一段程序代码时，是希望看到平均运行时间的。可现实中，平均运行时间很难通过分析得到，一般都是通过运行一定数量的实验数据后估算出来的。
  对算法的分析，一种方法是计算所有情况的平均值，这种时间复杂度的计算方法称为平均时间复杂度。另一种方法是计算最坏情况下的时间复杂度，这种方法称为最坏时间复杂度。一般在没有特殊说明的情况下，都是指最坏时间复杂度。

4. 算法空间复杂度

  我们在写代码时，完全可以用空间来换取时间，比如说，要判断某某年是不是闰年，你可能会花一点心思写了一个算法，而且由于是一个算法，也就意味着，每次给一个年份，都是要通过计算得到是否是闰年的结果。还有另一个办法就是，事先建立一个有2050个元素的数组（年数略比现实多一点)，然后把所有的年份按下标的数字对应，如果是闰年，此数组项的值就是1，如果不是值为0。这样，所谓的判断某一年是否是闰年，就变成了查找这个数组的某一项的值是多少的问题。此时,我们的运算是最小化了，但是硬盘上或者内存中需要存储这2050个0和1。
  这是通过一笔空间上的开销来换取计算时间的小技巧。到底哪一个好，其实要看你用在什么地方。
  算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现，算法空间复杂度的计算公式记作：S(n)=o(f(n))，其中，n为问题的规模，f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。
  一般情况下，一个程序在机器上执行时，除了需要存储程序本身的指令、常数、变量和输入数据外，还需要存储对数据操作的存储单元。若输入数据所占空间只取决于问题本身，和算法无关，这样只需要分析该算法在实现时所需的辅助单元即可。若算法执行时所需的辅助空间相对于输入数据量而言是个常数，则称此算法为原地工作，空间复杂度为O(1)。
  通常，我们都使用“时间复杂度”来指运行时间的需求，使用“空间复杂度”指空间需求。当不用限定词地使用“复杂度”时，通常都是指时间复杂度。

4.1 递归情况

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int BinarySearch2(const int* ptr,const int x,const int left,const int right)  
{  
    int mid=(left+right)/2;  
    while(left<=right)  
    {  
        if(x<ptr[mid])  
        {  
            return BinarySearch2(ptr,x,left,mid-1);  
        }  
        else if(x>ptr[mid])  
        {  
            return BinarySearch2(ptr,x,mid+1,right);  
        }  
        return mid;  
    }  
}

  递归情况下的空间复杂度： 递归深度为N*每次递归的辅助空间大小，如果每次递归的辅助空间为常数，则空间复杂度为O(N)。
  对于递归的二分查找，递归深度是log2^n^，每次递归的辅助空间为常数，所以空间复杂度为O(log2_2N)

4.2 非递归情况

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int BinarySearch1(const int* ptr,const int x,const int len)  
{  
    int left=0;  
    int right=len-1;  
    int mid=(left+right)/2;  
    while(left<=right)  
    {  
        if(x<ptr[mid])  
        {  
            right=mid-1;  
        }  
        else if(x>ptr[mid])  
        {  
            left=mid+1;  
        }  
        else  
        {  
            return mid;  
        }  
    }  
    return -1;  
}

  在这个过程中，辅助空间为常数级别，所以空间复杂度为O(1)。

5. 总结

  推导大O阶的步骤：

  • 用常数 1 取代运行时间中的所有加法常数。
  • 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
  • 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。

  得到的结果就是大О阶。

  通过这个步骤，我们可以在得到算法的运行次数表达式后，很快得到它的时间复杂度，即大О阶。同时我也提醒了大家，其实推导大О阶很容易，但如何得到运行次数的表达式却是需要数学功底的。

  常见的时间复杂度所耗时间的大小排列：

O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n2)<O(n3)<O(n!)<O(nn)O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n^2)<O(n^3)<O(n!)<O(n^n)